自抛物线y^2=2px的顶点O作互相垂直的直线,分别交抛物线于P、Q.证明弦PQ与抛物线的轴交于定点

Question

自抛物线y^2=2px的顶点O作互相垂直的直线,分别交抛物线于P、Q.证明弦PQ与抛物线的轴交于定点

Answer 1

自抛物线y^2=2px的顶点O作互相垂直的直线,分别交抛物线于P、Q,则 P=(u^2/(2p),u),Q=(v^2/(2p),v),且 (uv)^2/(2p)^2+uv=0,即 uv=-4p^2,或写成 v=(-4p^2)/u,所以直线PQ的方程为 y=[2p/(u^2-4p^2)](x-2p) 必经过对称轴上定点 (2p,0).