怎样理解无穷大的意义?比如实数的个数是正无穷个,自然数的个数也是正无穷个,但是这两者是不同的啊.顺便解释一下希尔伯特旅店的故事

Question

怎样理解无穷大的意义?比如实数的个数是正无穷个,自然数的个数也是正无穷个,但是这两者是不同的啊.
顺便解释一下希尔伯特旅店的故事

Answer 1

无穷大的理解还真的不好说：
可以这样理
就是想要多大就能有多大,这是它的最正规的理解,
希尔伯特旅店的故事解解释：
某旅游胜地有一家旅馆,内设有穷个房间.由于是旅游旺季,所以,所有的房间都已客满.这时,来了位客人想订个房间.“对不起,”店主说,“所有房间都住满了”.客人无可奈何地来到另一家旅馆.这家旅馆与别的旅馆并无多大不同,只是房间数不是有穷而是无穷多个,号码为1、2、3…… 这位客人到来时,所有房间也已住满,但他疲惫已极,坚持要住下.旅馆老板只得耐心劝说：“满了就是满了,非常对不起!”正好这时候,聪明的老板的女儿来了.她看见客人和她爸爸都很着急,就说：“这不成问题!请每位房客都搬一下,从这房间搬到下一间.”于是,1号房间的客人搬到2号,2号房间的客人搬到3号……依次类推.于是,这位客人住进了已被腾空的1号房间,而原来旅馆内的所有客人也全都有房间可住.
下面是解释：
疑问：老板的女儿让无穷旅馆内的每一位客人都从原房间搬到下一号的房间中,这便是一个无穷交换的过程：即1号房间的客人交换到2号房间,2号房间的客人交换到3号房间,3号房间的客人交换到4号房间.
　　那么请问：这种交换的过程能不能终止?
　　对于这个问题,只能有两个答案：要么是这种交换的过程能够终止,要么这种交换的过程不能终止.
　　下面来看这两个答案分别会产生什么样的结果：
　　（1）：若这种交换的过程能够终止,则必然会终止于无穷旅馆的最后一个房间,但是根据无穷的概念,因为旅馆内的房间是无穷多的,所以是不会存在最后一个房间的,所以这种交换的过程是不能终止的.
　　（2）：若这种交换的过程不能终止,则：并不是所有的客人全都有房间可住,而是：总有一个客人没有房间可住,即：当1号房间的客人搬到2号房间时,2号房间的客人没有房间可住,2号房间的客人搬到3号房间时,3号房间的客人没有房间可住,3号房间的客人搬到4号房间时,4号房间的客人没有房间可住.
请注意：“总有一个客人没有房间可住”与“所有的客人全都有房间可住”并不是同一个概念.
　　因此说大数学家希尔伯特的“无穷旅馆”其实质上就是一个数学诡辩.