前n个自然数的m次方之和怎么表示?如下：1^m+2^m+3^m+……+n^m,能不能用有限公式表示出来

Question

前n个自然数的m次方之和怎么表示?如下：
1^m+2^m+3^m+……+n^m,能不能用有限公式表示出来

Answer 1

m=0时,Sn=n
m=1时,Sn=n(n+1)/2
m=2时,Sn=n(n+1)(2n+1)/6
m=3时,Sn=[n(n+1)]^2/4
m=4时,Sn=n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)/30
n=5时,用关系式(n+1)^6-n^6=6n^5+15n^4+20n^3+15n^2+6n+1的从1到n的等式相加,得到
(n+1)^6-1^6=6(1^5+2^5+3^5+……+n^5)
+15(1^4+2^4+3^4+……+n^4)
+20(1^3+2^3+3^3+……+n^3)
+15(1^2+2^2+3^2+……+n^2)
+6(1+2+3+……+n)
+(1+1+1+……+1）
在上列等式的右边,除开第一个括号内是所要求的Sn以外,其余括号内的和均在前面列出,于是,可以求得前n个自然数的5次方的和
依此方法,每得到一个m此的和,就可以得出m+1次的和.
当然如果承认命题：前n个自然数的m次方的和是n的m+1次多项式
那么可以用“待定系数法”来求出m+1次多项式的系数,于是就得出公式Sn=f(n）