在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v（单位：m/s）和燃料的质量M（单位：kg），火箭（除燃料外）的质量m（单位：kg）满足ev=（1+Mm）2000．（e为自然对数的底）（Ⅰ）当燃料质量M

Question

在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v（单位：m/s）和燃料的质量M（单位：kg），火箭（除燃料外）的质量m（单位：kg）满足e^v=（1+(M)/(m)）²⁰⁰⁰．（e为自然对数的底）
（Ⅰ）当燃料质量M为火箭（除燃料外）质量m两倍时，求火箭的最大速度（单位：m/s）；
（Ⅱ）当燃料质量M为火箭（除燃料外）质量m多少倍时，火箭的最大速度可以达到8km/s．（结果精确到个位，数据：e≈2.718，e⁴≈54.598，ln3≈1.099））

Answer 1

（Ⅰ）∵e^v=（1+(M)/(m)）²⁰⁰⁰，
∴v=ln（1+(M)/(m)）²⁰⁰⁰=2000ln（1+(M)/(m)），
∵当燃料质量M为火箭（除燃料外）质量m两倍时，即M=2m，
∴v=2000ln3≈2000×1.099=2198（m/s）；
答：当燃料质量M为火箭质量m两倍时，火箭的最大速度为2198m/s．
（Ⅱ）∵e^v=（1+(M)/(m)）²⁰⁰⁰，
∴(M)/(m)=e(v)/(2000)−1，
∴(M)/(m)=e(8000)/(2000)-1=e⁴-1≈54，598-1≈54，
答：当燃料质量M为火箭质量m的54倍时，火箭最大速度可以达到8km/s．