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某企业科研课题组计划投资研发一种新产品,根据分析和预测,能获得10万元~1000万元的投资收益.企业拟制定方案对课题组进行奖励,奖励方案为:奖金y(单位:万元)随投资收益x(单
题目详情
某企业科研课题组计划投资研发一种新产品,根据分析和预测,能获得10万元~1000万元的投资收益.企业拟制定方案对课题组进行奖励,奖励方案为:奖金y(单位:万元)随投资收益x(单位:万元)的增加而增加,且奖金不超过9万元,同时奖金也不超过投资收益的20%,并用函数y=f(x)模拟这一奖励方案.
(Ⅰ)试写出模拟函数y=f(x)所满足的条件;
(Ⅱ)试分析函数模型y=4lgx-3是否符合奖励方案的要求?并说明你的理由.
(Ⅰ)试写出模拟函数y=f(x)所满足的条件;
(Ⅱ)试分析函数模型y=4lgx-3是否符合奖励方案的要求?并说明你的理由.
▼优质解答
答案和解析
(Ⅰ)由题意,模拟函数y=f(x)满足的条件是:
(1)f(x)在[10,1000]上是增函数;
(2)f(x)≤9;(3)f(x)≤
x.(Ⅱ)对于y=4lgx-3,显然它在[10,1000]上是增函数,满足条件(1),
又当10≤x≤1000时,4lg10-3≤y≤4lg1000-3,即y∈[1,9],从而满足条件(2)
下面证明:f(x)≤
x,即4lgx-3≤
x对于x∈[10,1000]恒成立.
令g(x)=4lgx-3-
x(10≤x≤1000),则g′(x)=
−
=
∵e<
,∴lge<lg
=
∴20lge<10
∴x≥10
∴20lge-x<0,∴g′(x)<0对于x∈[10,1000]恒成立.
∴g(x)在[10,1000]上是减函数
∴g(x)在[10,1000]时,g(x)≤g(10=4lg10-3-
×10=-1<0,
即4lgx-3-
x≤0,即4lgx-3≤
x对于x∈[10,1000]恒成立.从而满足条件(3).
故函数模型y=4lgx-3符合奖励方案的要求.
(1)f(x)在[10,1000]上是增函数;
(2)f(x)≤9;(3)f(x)≤
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又当10≤x≤1000时,4lg10-3≤y≤4lg1000-3,即y∈[1,9],从而满足条件(2)
下面证明:f(x)≤
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令g(x)=4lgx-3-
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xlg10 |
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20lge−x |
5x |
∵e<
10 |
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∴20lge<10
∴x≥10
∴20lge-x<0,∴g′(x)<0对于x∈[10,1000]恒成立.
∴g(x)在[10,1000]上是减函数
∴g(x)在[10,1000]时,g(x)≤g(10=4lg10-3-
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即4lgx-3-
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故函数模型y=4lgx-3符合奖励方案的要求.
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