关于连续函数证明:若闭区间[a,b]上的单调有界函数能取到f(a)和f(b)之间的一切值,则f(x)是[a,b]上的连续函数刘纪一，不过我我认为你只是将题目的结论以极限方式叙述了一次，没有已知条件的

Question

关于连续函数
证明:若闭区间[a,b]上的单调有界函数能取到 f(a)和f(b)之间的一切值,则f(x)是[a,b]上的连续函数
刘纪一，不过我我认为你只是将题目的结论以极限方式叙述了一次，没有已知条件的运用和证明过程啊

Answer 1

证明：
若f(x)是常值函数,上述命题是显然的.
不妨假定f(x)是单调不减函数.
若f(x)不是[a,b]上的连续函数,它将至少有一个间断点.设此间断点为c.由于f在[a,b]上有界,故c处只能为第一类间断点,即存在左极限
f_Left = lim(x→c-)f(x)
和右极限
f_Right = lim(x→c+)f(x)
遵循单调不减的假设,必有
f_Left f_Right.
因此f(x)在[a,b]中不能取到r值,但显然f(a) < r < f(b).这与题意不符.
因此假设错误,f(x)不能有间断点,它是连续函数.
对于单调不增函数,可以类似处理.
证毕.