若关于x的不等式a≤34x2-3x+4≤b的解集恰好为[a，b]，那么b-a=．

Question

若关于x的不等式a≤ (3)/(4)x²-3x+4≤b的解集恰好为[a，b]，那么b-a=___．

Answer 1

画出函数f（x）=(3)/(4)x²-3x+4=(3)/(4)（x-2）²+1的图象，
可得f（x）_min=f（2）=1，
由图象可知：若a>1，则不等式a≤(3)/(4)x²-3x+4≤b的解集分两段区域，不符合已知条件，
因此a≤1，此时a≤x²-3x+4恒成立；
又∵不等式a≤(3)/(4)x²-3x+4≤b的解集为[a，b]，
∴a≤1<b，f（a）=f（b）=b，可得

(3)/(4)a2-3a+4=b

(3)/(4)b2-3b+4=b

，
由(3)/(4)b²-3b+4=b，化为3b²-16b+16=0，解得b=(4)/(3)或b=4；
当b=(4)/(3)时，由(3)/(4)a²-3a+4-(4)/(3)=0，解得a=(4)/(3)或a=(8)/(3)，不符合题意，舍去；
∴b=4，此时a=0；
∴b-a=4．
故答案为：4．