附加题必做题设n是给定的正整数，有序数组（a1，a2，…，a2n）同时满足下列条件：①ai∈{1，-1}，i=1，2，…，2n；②对任意的1≤k≤l≤n，都有|2li＝2k−1ai|≤2．（1）记An为满足“对任意

Question

附加题必做题
  设n是给定的正整数，有序数组（a₁，a₂，…，a_2n）同时满足下列条件：
①a_i∈{1，-1}，i=1，2，…，2n；    ②对任意的1≤k≤l≤n，都有|

2l

i＝2k−1

ai|≤2．
（1）记A_n为满足“对任意的1≤k≤n，都有a_2k-1+a_2k=0”的有序数组（a₁，a₂，…，a_2n）的个数，求A_n；
（2）记B_n为满足“存在1≤k≤n，使得a_2k-1+a_2k≠0”的有序数组（a₁，a₂，…，a_2n）的个数，求B_n．

Answer 1

解（1）因为对任意的1≤k≤n，都有a_2k-1+a_2k=0，则a_2k-1、a_2k必为1、-1或-1、1，有两种情况，
有序数组（a₁，a₂，…，a_2n）中有n组a_2k-1、a_2k
所以，An＝

2×2×…×2

n个2相乘

＝2n；    
（2）因为存在1≤k≤n，使得a_2k-1+a_2k≠0，
所以a_2k-1+a_2k=2或a_2k-1+a_2k=-2，
设所有这样的k为k₁，k₂，…k_m（1≤m≤n），
不妨设a2kj−1+a2kj＝2(1≤j≤m)，则a2kj+1−1+a2kj+1＝−2（否则|

2kj+1

i＝2kj−1

ai|＝4＞2）；
同理，若a2kj−1+a2kj＝−2(1≤j≤m)，则a2kj+1−1+a2kj+1＝2，
这说明a2kj−1+a2kj的值由a2k1−1+a2k1的值（2或-2）确定，
又其余的（n-m）对相邻的数每对的和均为0，
所以，B_n=2C_n¹×2^n-1+2C_n²×2^n-2+…+2C_nⁿ=2（2ⁿ+C_n¹×2^n-1+C_n²×2^n-2+…+C_nⁿ）-2×2ⁿ=2（1+2）ⁿ-2×2ⁿ=2（3ⁿ-2ⁿ）．