某同学高三阶段12次数学考试的成绩呈现前几次与后几次均连续上升，中间几次连续下降的趋势；现有三种函数模型．①，②，③(其中p，q为正常数，且q>2)．较准确反映数学成绩与考试序

Question

某同学高三阶段12次数学考试的成绩呈现前几次与后几次均连续上升，中间几次连续下降的趋势；现有三种函数模型．①，②，③(其中p，q为正常数，且q>2)．较准确反映数学成绩与考试序次关系，应选____作为模拟函数；若f(1)=4，f(3)=6，求出所选函数f(x)的解析式____．

Answer 1

【分析】(1)欲找出能较准确反映数学成绩与考试序次关系的模拟函数，主要依据是呈现前几次与后几次均连续上升，中间几次连续下降的趋势，故可从三个函数的单调上考虑，前面两个函数没有出现两个递增区间和一个递减区间，应选f(x)=(x-1)(x-q)²+p为其成绩模拟函数．
\n(2)由题中条件：f(1)=4，f(3)=6，得方程组，求出p，q即可，从而得到f(x)的解析式．

(1)因为f(x)=pq^x，f(x)=log_qx+q是单调函数，
\nf(x)=(x-1)(x-q)²+q中，
\nf′(x)=3x²-(4q+2)x+q²+2q，
\n令f′(x)=0，得x=q，x=，f(x)有两个零点，可以出现两个递增区间和一个递减区间，
\n所以应选f(x)=(x-1)(x-q)²+p为其成绩模拟函数．
\n(2)①由f(1)=4，f(3)=6，
\n得，解得
\nf(x)=x³+9x²+24x-12(1≤x≤12，且x∈Z)．

【点评】本小题主要考查函数模型的选择与应用，属于基础题．解决实际问题通常有四个步骤：(1)阅读理解，认真审题；(2)引进数学符号，建立数学模型；(3)利用数学的方法，得到数学结果；(4)转译成具体问题作出解答，其中关键是建立数学模型．