如图所示，质量为M的半球面静止在水平地面上，质量为m的小物块在半球面上处于平衡状态，小物块与一轻弹簧连接，弹簧的上端固定于墙上的O点．已知小物块与球心O'的连线与竖直方向

Question

如图所示，质量为M的半球面静止在水平地面上，质量为m的小物块在半球面上处于平衡状态，小物块与一轻弹簧连接，弹簧的上端固定于墙上的O点．已知小物块与球心O'的连线与竖直方向成θ=45°角，弹簧的劲度系数为k，其与竖直方向的夹角也为θ．若小物块与球面之间刚好没有相对运动的趋势，求：

（1）弹簧的伸长量；
（2）球面所受地面的支持．

Answer 1

（1）对小物块受力分析：摩擦力为零，支持力N、弹簧的拉力T和重力G三力平衡，如图所示：
N=T=(√(2)mg)/(2)
设弹簧伸长量为△x，则：T=k△x
解得：△x=(√(2)mg)/(2k)
（2）设地面的支持力和摩擦力分别为F_N和f，对整体受力分析，

根据平衡条件得：
Tsinθ=f，
Tcosθ+F_N=（M+m）g
解得：f=(1)/(2)mg，方向水平向左，
FN=Mg+(1)/(2)mg，方向竖直向上．
答：（1）弹簧的伸长量为(√(2)mg)/(2k)；
（2）球面所受地面的支持力大小为Mg+(1)/(2)mg，方向竖直向上．