已知函数f(x)＝xx2+1．（1）求出函数y=f（x）的单调区间；（2）当x∈(−34，+∞)时，证明函数y=f（x）图象在点(13，310)处切线的下方；（3）利用（2）的结论证明下列不等式：“已知a，b，c∈(

Question

已知函数f(x)＝(x)/(x2+1)．
（1）求出函数y=f（x）的单调区间；
（2）当x∈(−(3)/(4)，+∞)时，证明函数y=f（x）图象在点((1)/(3)，(3)/(10))处切线的下方；
（3）利用（2）的结论证明下列不等式：“已知a，b，c∈(−(3)/(4)，+∞)，且a+b+c=1，证明：(a)/(a2+1)+(b)/(b2+1)+(c)/(c2+1)≤(9)/(10)”；
（4）已知a₁，a₂，…，a_n是正数，且a₁+a₂+…+a_n=1，借助（3）的证明猜想

n

k＝1

(ak)/(a2k+1)的最大值．（只指出正确结论，不要求证明）

Answer 1

（1）f（x）=xx2+1的定义域是（-∞，+∞），因为f'（x）=1−x2(x2+1)2，所以f（x）在（-∞，-1]上单调递减，在[-1，1]上单调递增，在[1，+∞）上单调递减．…（4分）（2）y=f（x）的图象在点（x0，f（x0））处的切线...