如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，CD，CE分别是AB边上的中线和高．（1）求证：AE=ED；（2）若AC=2，求△CDE的周长．

Question

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，CD，CE分别是AB边上的中线和高．

（1）求证：AE=ED；
（2）若AC=2，求△CDE的周长．

Answer 1

（1）证明：∵∠ACB=90°，CD是AB边上的中线，
∴CD=AD=DB．
∵∠B=30°，
∴∠A=60°．
∴△ACD是等边三角形．
∵CE是斜边AB上的高，
∴AE=ED．
（2）由（1）得AC=CD=AD=2ED，
又AC=2，
∴CD=2，ED=1．
∴CE＝√(22−1)＝√(3)．
∴△CDE的周长=CD+ED+CE＝2+1+√(3)＝3+√(3)．