割线ABC与圆O相交于B、C两点,D为圆O上一点,E为弧BC的中点,OE交BC于F,DE交AC于G,∠ADG=∠AGD.已知AD为圆O切线,若AB=2,AD=4,EG=2,求圆O半径

Question

割线ABC与圆O相交于B、C两点,D为圆O上一点,E为弧BC的中点,OE交BC于F,DE交AC于G,∠ADG=∠AGD.
已知AD为圆O切线,若AB=2,AD=4,EG=2,求圆O半径

Answer 1

∵ AD为圆O切线
∴ 根据切割线定理,有 AD^2=AB*AC
即 4^2=2*AC
从而 AC=8
BC=AC-AB=8-2=6
∵ E为弧BC的中点
∴ BF=FC=BC/2=6/2=3
∵ ∠ADG=∠AGD
∴AG=AD
从而 BG=AG-AB=AD-AB=4-2=2
∴ GF=BF-BG=3-2=1
在直角三角形EFG中
GE^2=EF^2+GF^2
即 2^2=EF^2+1^2
∴EF=√3 (√表示平方根号)
设圆O半径为r
根据相交弦定理,有 EF*(2r-EF)=BF*FC=FC^2
则 √3*（2r-√3）=3^2
2r-√3=9/√3=3√3
2r=4√3
∴=2√3
则圆O半径为2√3.