已知二次函数，且f（0）=0，f（x+1）=f（x）+x+1，（1）求f（x）（2）利用单调性的定义证明f（x）在x∈（1，2）为单调递增函数．（3）求f（x）在区间x∈（t，t+1）上的最值．

Question

已知二次函数，且f（0）=0，f（x+1）=f（x）+x+1，
（1）求f（x）
（2）利用单调性的定义证明f（x）在x∈（1，2）为单调递增函数．
（3）求f（x）在区间x∈（t，t+1）上的最值．

Answer 1

（1）设f（x）=ax²+bx+c，
由f（0）=0，得c=0，f（x+1）=f（x）+x+1，即a（x+1）²+b（x+1）+c=ax²+bx+c+x+1，
也即ax²+（2a+b）x+a+b=ax²+（b+1）x+1，
所以有

2a+b＝b+1

a+b＝1

，解得

a＝(1)/(2)

b＝(1)/(2)

，
所以f(x)＝(1)/(2)x2+(1)/(2)x．
（2）设1＜x₁＜x₂＜2，
则f（x₁）-f（x₂）=(1)/(2)(x1−x2)(x1+x2−1)，
∵1＜x₁＜x₂＜2，∴x₁-x₂0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
所以f（x）在（1，2）上为增函数；
（3）①若t+1≤-(1)/(2)，即t≤-(3)/(2)，f_max（x）=f（t）=(1)/(2)t2+(1)/(2)t取不到，f_min（x）=f（t+1）=(1)/(2)t2+(3)/(2)t+1取不到；
②若t＜−(1)/(2)＜t+1即-(3)/(2)＜t＜-

作业帮用户 2017-10-12 举报

问题解析

（1）待定系数法：设f（x）=ax²+bx+c，由f（0）=0可得c值，由f（x+1）=f（x）+x+1可得关于a，b的方程组，解出即可；
（2）设1＜x₁＜x₂＜2，根据增函数的定义只需证明f（x₁）＜f（x₂），通过作差即可证明；
（3）根据对称轴与区间的位置关系，分三种情况讨论：①若t+1≤-(1)/(2)，②若t＜−(1)/(2)＜t+1，③若t≥-(1)/(2)，借助图象即可求得最值；

名师点评

本题考点：

二次函数在闭区间上的最值；函数解析式的求解及常用方法；函数单调性的判断与证明．

考点点评：

本题考查二次函数解析式的求法、二次函数单调性的证明及二次函数在闭区间上的最值问题，考查数形结合思想，属中档题，深刻理解“三个二次”间的关系是解决二次函数问题的关键．

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