二次函数f（x）=ax2+2bx+1（a≠0）．（1）若a∈{-2，-1，2，3}，b∈{0，1，2}，求函数f（x）在（-1，0）内有且只有一个零点的概率；（2）若a∈（0，1），b∈（-1，1），求函数f（x）在（-∞，-1）

Question

二次函数f（x）=ax²+2bx+1（a≠0）．
（1）若a∈{-2，-1，2，3}，b∈{0，1，2}，求函数f（x）在（-1，0）内有且只有一个零点的概率；
（2）若a∈（0，1），b∈（-1，1），求函数f（x）在（-∞，-1）上为减函数的概率．

Answer 1

（1）由题意可得所有的（a，b）共有4×3=12个，根据f（x）在（-1，0）内有且只有一个零点，且f（0）=1，
故有f（-1）=a-2b+1＜0，即 a＜2b-1，故满足条件的（a，b）有（-2，0）、（-2，-1）、（-2，2）、
（-1，1）、（-1，2）、（2，2），共计6个，
∴所求事件的概率为 (6)/(12)=(1)/(2)．
（2）若a∈（0，1），b∈（-1，1），函数f（x）在（-∞，-1）上为减函数，即-(2b)/(2a)≥-1，求得b≤a．
而所有的点（a，b）构成的区域为{（a，b）|0＜a＜1，且-1＜b＜1}，如图所示：
故函数f（x）在（-∞，-1）上为减函数的概率为(SOBCDE)/(SABDE)=(1×2−(1)/(2)×1×1)/(1×2)=(3)/(4)．