如图甲所示，平行金属板A和B的距离为d，紧贴它们的右端安放着垂直于金属板的绝缘靶MN，AB板间的中线OP交MN于P点，现在A、B板上加上如图所示的方形波电压，电压的正向值为U0，反向电压为

Question

如图甲所示，平行金属板A和B的距离为d，紧贴它们的右端安放着垂直于金属板的绝缘靶MN，AB板间的中线OP交MN于P点，现在A、B板上加上如图所示的方形波电压，电压的正向值为U₀，反向电压为(U0)/(2)，且每隔T/2换向一次，现有质量为m的带正电q的连续粒子束从AB的中点O以平行于金属板的方向射入．设粒子能全部打在靶上而且所有粒子在AB间的飞行时间均为T，不计重力的影响．
（1）要使粒子能全部打在靶MN上，试讨论电压U₀的数值与m、d、q、T应满足的关系．
（2）求靶MN上被粒子击中的范围．

Answer 1

带电粒子在水平方向做匀速直线运动，竖直方向在电场力的作用下做匀变速运动．粒子打在靶MN上的范围，就是粒子在竖直方向所能到达的范围．
（1）当粒子在0，T，2T，…nT时刻进入电场中时，粒子将打在O′点下方最远点，在前(T)/(2)时间内，粒子在竖直向下的位移为：
s1＝(1)/(2)a1((T)/(2))2=(qU0T2)/(8md)
在后(T)/(2)时间内，粒子在竖直向下的位移为：s2＝v•(T)/(2)−(1)/(2)a2((T)/(2))2
将v＝a1•(T)/(2)=(qU0)/(2md)，代入上式得：s2＝(3qU0T2)/(16md)．
故粒子打在距O′点正下方的最大位移为s=s1+s2＝(5qU0T2)/(16md)
当粒子在(T)/(2)，(3T)/(2)，…（2n+1）(T)/(2)时刻进入电场时，…（2n+1）(T)/(2)时刻进入电场时，将打在O′点上方最远点．
在前(T)/(2)时间内，粒子在竖直向上的位移为：
s1′＝(1)/(2)a1′((T)/(2))2=(qU0T2)/(16md)
在后(T)/(2)时间内，粒子在竖直向上的位移为：
s2′＝v′

作业帮用户 2016-11-21 举报

问题解析

带电粒子在水平方向做匀速直线运动，竖直方向在电场力的作用下做匀变速运动．当粒子在0，T，2T，…nT时刻进入电场中时，粒子将打在O′点下方最远点，粒子在竖直方向先向下做匀加速运动，后做匀减速运动．根据牛顿第二定律求出加速度，由位移公式分别求出前

(T)/(2)时间内和后(T)/(2)时间内，粒子在竖直方向的位移，再粒子打在距O′点正下方的最大位移．当粒子在(T)/(2)，(3T)/(2)，…（2n+1）(T)/(2)时刻进入电场时，将打在O′点上方最远点．粒子在竖直方向先向上做匀加速运动，后做匀减速运动．同理求出粒子打在距O′点正上方的最大位移．
要使粒子能全部打在靶上，粒子在竖直方向距O′点的最大位移小于(d)/(2)．代入（1）问的结论，求解电压U₀的数值应满足的条件．

名师点评

本题考点：

带电粒子在匀强电场中的运动．

考点点评：

本题是粒子在周期性变化的电场中运动，分析带电粒子的运动情况是关键．结合牛顿第二定律和运动学公式进行求解．

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