用反证法证明．若a、b、c均为实数，且a=x2-2y+π2，b=y2-2z+π3，c=z2-2x+π6，求证：a、b、c中至少有一个大于0．

Question

用反证法证明．若a、b、c均为实数，且a=x²-2y+(π)/(2)，b=y²-2z+(π)/(3)，c=z²-2x+(π)/(6)，求证：a、b、c中至少有一个大于0．

Answer 1

证明：设a、b、c都不大于0，即a≤0，b≤0，c≤0，
∴a+b+c≤0，
而a+b+c=（x²-2y+(π)/(2)）+（y²-2z+(π)/(3)）+（z²-2x+(π)/(6)）
=（x²-2x）+（y²-2y）+（z²-2z）+π=（x-1）²+（y-1）²+（z-1）²+π-3，
∴a+b+c＞0，
这与a+b+c≤0矛盾，
故假设是错误的，
故a、b、c中至少有一个大于0