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设f(x)是定义在(0,+∞)上的非常函数设f(x)是定义在(0,+∞)上的非常函数,对任意的x>0,y>0,恒有f(xy)=f(x)f(y)成立,且当x>1时,恒有f(x)>1或f(x)

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设f(x)是定义在(0,+∞)上的非常函数
设f(x)是定义在(0,+∞)上的非常函数,对任意的x>0,y>0,恒有f(xy)=f(x)f(y)成立,且当x>1时,恒有f(x)>1或f(x)
▼优质解答
答案和解析
(1)设x=y=√a,a为在(0,+∞)任意实数
带入f(xy)=f(x)f(y)
得f(a)=f(√a)^2≥0,∴f(x)恒在第一象限
令x=y=1带入f(xy)=f(x)f(y)
得f(1)=f(1)^2
解得f(1)=1或f(1)=0
若f(1)=0,当x>1时,恒有f(x)>1>f(1),与f(x)是连续函数矛盾
∴f(1)=1
∴f(x)恒过(1,1)
(2)令y=1/x带入f(xy)=f(x)f(y)
f(x)f(1/x)=f(1)=1
(3)设x=x1,y=x2/x1
x1<x2∈(0,+∞)
f(x2)=f(x1)f(x2/x1)
即f(x2)/f(x1)=f(x2/x1)
∵x2/x1>1
∴f(x2)/f(x1)=f(x2/x1)恒>1或<1
即f(x2)>f(x1)或f(x2)<f(x1)恒成立
∴f(x)在(0,+∞)上为单调函数