设f(x)是定义在(0,+∞)上的非常函数设f(x)是定义在(0,+∞)上的非常函数,对任意的x>0,y>0,恒有f（xy）=f（x）f（y）成立,且当x>1时,恒有f（x）>1或f（x）

Question

设f(x)是定义在(0,+∞)上的非常函数
设f(x)是定义在(0,+∞)上的非常函数,对任意的x>0,y>0,恒有f（xy）=f（x）f（y）成立,且当x>1时,恒有f（x）>1或f（x）

Answer 1

(1)设x=y=√a,a为在(0,+∞)任意实数
带入f（xy）=f（x）f（y）
得f(a)=f(√a)^2≥0,∴f(x)恒在第一象限
令x=y=1带入f（xy）=f（x）f（y）
得f(1)=f(1)^2
解得f(1)=1或f(1)=0
若f(1)=0,当x＞1时,恒有f（x）＞1＞f(1),与f(x)是连续函数矛盾
∴f(1)=1
∴f(x)恒过（1,1）
(2)令y=1/x带入f（xy）=f（x）f（y）
f（x）f（1/x）=f（1）=1
(3)设x=x1,y=x2/x1
x1＜x2∈（0,+∞）
f(x2)=f(x1)f(x2/x1)
即f(x2)/f(x1)=f(x2/x1)
∵x2/x1＞1
∴f(x2)/f(x1)=f(x2/x1)恒＞1或＜1
即f(x2)＞f(x1)或f(x2)＜f(x1)恒成立
∴f（x）在(0,+∞)上为单调函数