已知直线l：y=kx和抛物线C：y=ax2+bx+1．（Ⅰ）当k=1，b=1时，抛物线C：y=ax2+bx+1的顶点在直线l：y=kx上，求a的值；（Ⅱ）若把直线l向上平移k2+1个单位长度得到直线r，则无论非零实数k取何值，直

Question

已知直线l：y=kx和抛物线C：y=ax²+bx+1．
（Ⅰ）当k=1，b=1时，抛物线C：y=ax²+bx+1的顶点在直线l：y=kx上，求a的值；
（Ⅱ）若把直线l向上平移k²+1个单位长度得到直线r，则无论非零实数k取何值，直线r与抛物线C都只有一个交点；
（i）求此抛物线的解析式；
（ii）若P是此抛物线上任一点，过点P作PQ∥y轴且与直线y=2交于点Q，O为原点，求证：OP=PQ．

Answer 1

（Ⅰ）将k=1，b=1代入代入得：抛物线的解析式为y=ax²+x+1，直线的解析式为y=x．
∵y=ax²+x+1=a（x+(1)/(2a)）²+1-(1)/(4a)，
∴抛物线的顶点为（-(1)/(2a)，1-(1)/(4a)）．
∵抛物线的顶点在直线y=x上，
∴-(1)/(2a)=1-(1)/(4a)，解得：a=-(1)/(4)．

（Ⅱ）（i）将直线y=kx向上平移k²+1个单位，所得直线的解析式为y=kx+k²+1．
∵无论非零实数k取何值，直线与抛物线都只有一个交点，
∴方程kx+k²+1=ax²+bx+1有两个相等的实数根，即ax²+（b-k）x-k²=0有两个相等的实数根，
∴△=（b-k）²+4ak²=（4a+1）k²-2bk+b²=0．
∵无论非零实数k取何值时，（4a+1）k²-2bk+b²=0恒成立，
∴4a+1=0且b=0，
∴a=-(1)/(4)，b=0．
∴抛物线的解析式为y=-(1)/(4)x²+1．

（ii）证明：根据题意，画出图象如图所示：

设点P的坐标为（x，-(1)/(4)x²+1）则点Q的坐标为（x，2），D（x，0）．
∴PD=|-(1)/(4)x²+1|，OD=|x|，QP=2-（-(1)/(4)x²+1）=(1)/(4)x²+1．
在Rt△OPD中，依据勾股定理得：OP=√(x2+(-(1)/(4)x2+1)2)=√((1)/(16)x4+(1)/(2)x2+1)=(1)/(4)x²+1．
∴OP=PQ．