设关于x的方程（a-b）3x2+（a2-3ab+2b2）x+a+b=0的根都是整数，且a-b是非零整数，求b的最小值．

Question

设关于x的方程（a-b）³x²+（a²-3ab+2b²）x+a+b=0的根都是整数，且a-b是非零整数，求b的最小值．

Answer 1

若a-b=0，方程化为a+b=0，有无穷多个根，不合题意，
若a-b≠0，令（a-b）x=t，则t为整数，且（a-b）t²+（a-2b）t+（a+b）=0是关于t的二次方程，
由韦达定理得：
t₁+t₂=(2b−a)/(a−b)，t₁t₂=(a+b)/(a−b)，
故t₁t₂-2（t₁+t₂）=3，
所以，（t₁-2）（t₂-2）=7，
不妨设t₁≥t₂，有

t1−2＝7

t2−2＝1

或

t1−2＝−1

t2−2＝−7

，
解得：

t1＝9

t2＝3

或

t1＝1

t2＝−5

，
则

(2b−a)/(a−b)＝12

(a+b)/(a−b)＝27

或

(2b−a)/(a−b)＝−4

(a+b)/(a−b)＝−5

，
解得：13a=14b或2b=3a，
（1）若13a=14b，则a-b=(1)/(13)b为整数，
所以，b为整数且13|b，
又（a-b）x=t=(1)/(13)bx=3或9，于是，bx=39或117，
∵x是整数，b为整数且13|b，bx=39或117，
∴当x=-1时，则b_最小=-117，
（2）若2b=3a，则a-b=-(1)/(3)b，
所以，b为整数且3|b，
又（a-b）x=t=-(1)/(3)bx=1或-5，于是，bx=-3或15，
∵x是整数，b为整数且3|b，bx=-3或15，
∴当x=-1时，则b_最小=-15，
综上，b最小为-117．