设：k是给定的正整数,且非零多项式f（x）适合f[f﹙x﹚]＝[f（x）]^k,求非零多式.

Question

设：k是给定的正整数,且非零多项式f（x）适合f[f﹙x﹚]＝[f（x）]^k,求非零多式.

Answer 1

你好数学之美为你答题.
设f（x）=a（n）x^n加a（n-1）x^（n-1）加…加a1x加a0
则f[f（x）]=a（n）×[a（n）x^（n）加a（n-1）x^（n-1）加…加a0]^n加…加a0
有degf[f（x）]=n^2,而
[f（x）]^k=（a（n）x^（n）加…加a0）^k
有deg[f（x）]^k=nk
由题知,n²=nk
于是n=0或n=k
①如果n=0,那么f（x）=a0（a0为非零常数）
由题意,有a0=a0^k,所以
f（x）=a（k=1）
f（x）=1（k＞1）
②如果n=k,比较刚刚设的两个等式的得:
a（k）×a（k）^k=a（k）^k
所以a（k）=1
根据多项式相等条件得:
a（k-1）=a（k-2）=…=a1=a0=0
所以f（x）=x^k