在梯形ABCD中,AD//BC,AB=CD,BC=2AD,DE垂直BC,垂足为点F,且F是DE的中点,联结AE,交BC于点G,求证四边形A

Question

在梯形ABCD中,AD//BC,AB=CD,BC=2AD,DE垂直BC,垂足为点F,且F是DE的中点,联结AE,交BC于点G,求证四边形A

Answer 1

已知：如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD,BC=2AD．DE⊥BC,垂足为点F,且F是DE的中点,联结AE,交边BC于点G．
（1）求证：四边形ABGD是平行四边形；
（2）如果AD= 2AB,求证：四边形DGEC是正方形．考点：正方形的判定；勾股定理；平行四边形的判定；梯形．专题：证明题．分析：（1）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得DC=EC,根据等边对等角可得∠DCF=∠ECF,再求出∠B=∠ECF,然后根据内错角相等,两直线平行求出AB∥EC,根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定四边形ABEC是平行四边形,再根据平行四边形的对角线互相平分求出EG=CG= 12BC,然后求出AD=BG,再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定即可；
（2）根据平行四边形的对边平行且相等可得AB∥DG,AB=DG,然后求出DG∥EC,DG=EC,再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形求出四边形DGEC是平行四边形,再根据邻边相等的四边形是菱形判定为菱形,然后根据勾股定理逆定理求出∠GDC=90°,根据一个角是直角的菱形是正方形证明．证明：（1）∵DE⊥BC,且F是DE的中点,
∴DC=EC,
即得∠DCF=∠ECF,
又∵AD∥BC,AB=CD,
∴∠B=∠DCF,AB=EC,
∴∠B=∠ECF,
∴AB∥EC,
又∵AB=EC,
∴四边形ABEC是平行四边形,
∴EG=CG=12BC,
∵BC=2AD,
∴AD=BG,
又∵AD∥BG,
∴四边形ABGD是平行四边形；
（2）∵四边形ABGD是平行四边形,
∴AB∥DG,AB=DG,
又∵AB∥EC,AB=EC,
∴DG∥EC,DG=EC,
∴四边形DGEC是平行四边形,
又∵DC=EC,
∴四边形DGEC是菱形,
∴DG=DC,
由AD=根号2AB,即得CG等于根号2DC=根号2DG,
∴DG2+DC2=CG2,
∴∠GDC=90°,
∴四边形DGEC是正方形．