如图所示，轨道a、b、c在同一竖直平面内，其中a是光滑圆弧轨道且末端水平，b是半径为r=2m的光滑半圆形轨道且直径DF沿竖直方向，水平轨道c上静止放置着相距l=1.0m的物块B和C，B位于F处，现

Question

如图所示，轨道a、b、c在同一竖直平面内，其中a是光滑圆弧轨道且末端水平，b是半径为r=2m的光滑半圆形轨道且直径DF沿竖直方向，水平轨道c上静止放置着相距l=1.0m的物块B和C，B位于F处，现将小球A从轨道a距D点高为H的位置由静止释放，小球经D处水平进入轨道b后恰能沿轨道内侧运动，到达F处与物块B正碰，碰后A、B粘在一起向右滑动，并与C发生弹性正碰．已知A、B、C质量分别为m，m，6m均可看做质点，物块与地面的动摩擦因数μ=0.45．（设碰撞时间很短，g取10m/s²）

（1）求H的大小；
（2）求物块C与AB整体都停止运动后它们之间的距离．

Answer 1

（1）滑块A从轨道a下滑到达D点的过程中，由机械能守恒定律得：
   mgH=(1)/(2)mv_D²，
要使滑块A恰好能沿竖直平面内光滑半圆轨道b内侧做圆周运动，在D点应满足：
  mg=(mv2D)/(r)，
联立并代入数据解得 H=1m．
（2）滑块A从a轨道上H=1m处下滑到达F点的过程，由机械能守恒定律得
   mg（H+2r）=(1)/(2)m

v

2 0

可得，滑块经过F点的速度 v₀=10m/s
A、B碰撞过程，取向右为正方向，由动量守恒定律得：
   mv₀=2mv₁．
设AB整体与C碰撞前瞬间的速度为v₂．由动能定理得：
-μ•2mgl=(1)/(2)•2m

v

2 2

-(1)/(2)•2m

v

2 1

联立以上各式解得 v₂=4m/s
AB整体与C发生弹性碰撞，由动量守恒定律和能量守恒定律得：
   2mv₂=2mv₃+6mv
   (1)/(2)×2mv₂²=(1)/(2)×2mv₃²+(1)/(2)•6mv₄²
解得 v₃=-2m/s，v₄=2m/s
此时AB整体的运动方向与C相反，速度的大小相等．
A与B的整体向左做减速运动，位移的大小：xAB=((1)/(2)•2mv23)/(2μmg)
代入数据得：xAB=(4)/(9)m
C向右做减速运动的位移：xc=((1)/(2)•6mv22)/(6μmg)
代入数据得：xc=(4)/(9)m
所以AB与C之间的距离：L=xAB+xC=(4)/(9)m+(4)/(9)m=(8)/(9)m
答：（1）H的大小是1m；
（2）物块C与AB整体都停止运动后它们之间的距离是(8)/(9)m．