定积分和反常积分1.∫1/[sinx*(x^0.5)]从0到pi/42.∫1/[(x^0.5)*lnx]从2到正无限这两个积分是定积分还是反常积分?如何判断?若是广义积分,证明其存在性

Question

定积分和反常积分
1.∫1/[sinx*(x^0.5)] 从0到pi/4
2.∫1/[(x^0.5)*lnx] 从2到正无限
这两个积分是定积分还是反常积分?如何判断?若是广义积分,证明其存在性

Answer 1

这两个积分都是广义积分.平常说的定积分一般都是Riemann积分,它是对于有限区间上的有界函数的积分.而第一题中当x->0时,函数值->无穷,即x=0是一个瑕点,所以这是反常积分.由于1/[sinx*(x^0.5)]与1/x^1.5是x->0时的等价无穷大,而后者在零点可积,所以原积分存在.
第二题是无限区间上的广义积分,1/[(x^0.5)*lnx] 与1/x^(0.5+&)是x->无穷时的等价无穷小（其中&代表一个正的任意小量）,而后者是可积的,所以原积分存在.