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已知函数f(x)=x3+ax2-9x-1;(Ⅰ)若x=-1是函数f(x)的一个极值点,求:(1)a的值;(2)函数f(x)在区间[-2,5]上的最大值与最小值.(Ⅱ)是否存在实数a,使f(x)在R上单调递
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已知函数f(x)=x 3 +ax 2 -9x-1; (Ⅰ)若x=-1是函数f(x)的一个极值点,求:(1)a的值;(2)函数f(x)在区间[-2,5]上的最大值与最小值. (Ⅱ)是否存在实数a,使f(x)在R上单调递增;若存在,求出a的取值范围;若不存在,说明理由. |
▼优质解答
答案和解析
(Ⅰ)(1)∵f(x)=x 3 +ax 2 -9x-1, ∴f′(x)=3x 2 +2ax-9, ∵x=-1是函数f(x)的一个极值点, ∴f′(-1)=3-2a-9=0, 解得a=-3. (2)∵a=-3,∴f′(x)=3x 2 -6x-9,f(x)=x 3 -3x 2 -9x-1, 由f′(x)=3x 2 -6x-9=0,得x=-1,或x=3. ∵x∈[-2,5],-1∈[-2,5],3∈[-2,5], f(-2)=-8-12+18-1=-3; f(-1)=-1-3+9-1=4; f(3)=27-27-27-1=-28; f(5)=125-75-45-1=4. ∴函数f(x)在区间[-2,5]上的最大值为4,最小值为-28. (Ⅱ)假设存在实数a,使f(x)在R上单调递增, 则f′(x)=3x 2 +2ax-9>0的解集为R, ∴△=4a 2 +108<0 ∵△=4a 2 +108≥108, ∴△<0不成立. 所以,不存在实数a,使f(x)在R上单调递增. |
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