以A表示值域为R的函数组成的集合，B表示具有如下性质的函数φ（x）组成的集合：对于函数φ（x），存在一个正数M，使得函数φ（x）的值域包含于区间[-M，M]．例如，当φ1（x）=x3，φ2（x）=s

Question

以A表示值域为R的函数组成的集合，B表示具有如下性质的函数φ（x）组成的集合：对于函数φ（x），存在一个正数M，使得函数φ（x）的值域包含于区间[-M，M]．
例如，当φ₁（x）=x³，φ₂（x）=sinx时，φ₁（x）∈A，φ₂（x）∈B．现有如下结论：
①设函数f（x）的定义域为D，若对于任何实数b，存在a∈D，使得f（a）=b，则f（x）∈A；
②若函数f（x）∈B，则f（x）有最大值和最小值；
③若函数f（x），g（x）的定义域相同，且f（x）∈A，g（x）∈B，则（f（x）+g（x））∉B；
④若函数f（x）=aln（x+2）+

(x)/(x2+1)（x>-2，a∈R）有最大值，则f（x）∈B．
其中正确的是（　　）

A. ②③④

B. ①③④

C. ②③

D. ①③

Answer 1

（1）对于命题①，
“f（x）∈A”即函数f（x）值域为R，
“∀b∈R，∃a∈D，f（a）=b”表示的是函数可以在R中任意取值，
故有：设函数f（x）的定义域为D，则“f（x）∈A”的充要条件是“∀b∈R，∃a∈D，f（a）=b”，
∴命题①是真命题；
（2）对于命题②，
若函数f（x）∈B，即存在一个正数M，使得函数f（x）的值域包含于区间[-M，M]．
∴-M≤f（x）≤M．例如：函数f（x）满足-2∴命题②“函数f（x）∈B的充要条件是f（x）有最大值和最小值．”是假命题；
（3）对于命题③，
若函数f（x），g（x）的定义域相同，且f（x）∈A，g（x）∈B，
则f（x）值域为R，f（x）∈（-∞，+∞），
并且存在一个正数M，使得-M≤g（x）≤M．
∴f（x）+g（x）∈R．
则f（x）+g（x）∉B．
∴命题③是真命题．
（4）对于命题④，
∵函数f（x）=aln（x+2）+(x)/(x2+1)（x>-2，a∈R）有最大值，
∴假设a>0，当x→+∞时，(x)/(x2+1)→0，ln（x+2）→+∞，∴aln（x+2）→+∞，则f（x）→+∞．与题意不符；
  假设a<0，当x→-2时，(x)/(x2+1)→-(2)/(5)，ln（x+2）→-∞，∴aln（x+2）→+∞，则f（x）→+∞．与题意不符．
∴a=0．即函数f（x）=(x)/(x2+1)（x>-2）
当x>0时，x+(1)/(x)≥2，∴0<(1)/(1+(1)/(x))≤(1)/(2)，即0<f（x）≤(1)/(2)；
当x=0时，f（x）=0；
当x<0时，x+(1)/(x)≤-2，∴-(1)/(2)≤(1)/(x+(1)/(x))<0，即-(1)/(2)≤f(x)<0．
∴-(1)/(2)≤f(x)≤(1)/(2)．即f（x）∈B．故命题④是真命题．
故选：B．