三角函数已知A,B,C为△ABC的三个内角,其对边分别为a,b,c,且三边a,b,c上的高分别为Ha,Hb,Hc满足3a/Ha-b/Hb+6c/Hc=6.1.若△ABC的面积为S,试用a,b,c表示S.2.用b,c表示sin（A+π/4）,试求A.

Question

三角函数
已知A,B,C为△ABC的三个内角,其对边分别为a,b,c,且三边a,b,c上的高分别为Ha,Hb,Hc满足3a/Ha-b/Hb+6c/Hc=6.
1.若△ABC的面积为S,试用a,b,c表示S.
2.用b,c表示sin（A+π/4）,试求A.

Answer 1

1.因为：S=(1/2)aha; 所以：ha=2S/a; 1/ha=a/(2S);
同理：1/hb=b/(2S);1/hc=c/(2S)
代入条件式子：3a/Ha-b/Hb+6c/Hc=6中得：
3a(a/2S)-b(b/2S)+6c(c/2S)=6;即：3a²-b²+6c²=12S
S=(1/12)(3a²-b²+6c²)
2.因为S=(1/2)bcsinA; 所以6bcsinA=3a²-b²+6c²
由余弦定理：a² =b² +c² -2bccosA
所以：6bcsinA=3b²+3c ² -6bccosA-b² +6c²
6bc(sinA+cosA)=2b² +9c² ; 6√2bcsin(A+π/4)=2b² +9c² ≥2√18bc=6√2bc
所以：sin(A+π/4)=1； A+π/4=π/2； A=π/4