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(2012•成都模拟)设函数f(x)=-13x3+2ax2-3a2x+b(常数a,b满足0<a<1,b∈R).(1)求函数f(x)的单调区间和极值;(2)若对任意的x∈[a+1,a+2],不等式|f'(x)|≤a恒成立,求a的取值范围
题目详情
(2012•成都模拟)设函数f(x)=-
x3+2ax2-3a2x+b(常数a,b满足0<a<1,b∈R).
(1)求函数f(x)的单调区间和极值;
(2)若对任意的x∈[a+1,a+2],不等式|f'(x)|≤a恒成立,求a的取值范围.
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(1)求函数f(x)的单调区间和极值;
(2)若对任意的x∈[a+1,a+2],不等式|f'(x)|≤a恒成立,求a的取值范围.
▼优质解答
答案和解析
(1)求导函数可得f′(x)=-x2+4ax-3a2,令f′(x)>0,得f(x)的单调递增区间为(a,3a).
令f′(x)<0,得f(x)的单调递减区间为(-∞,a)和 (3a,+∞);
∴当x=a时,f(x)极小值=−
a3+b;当x=3a时,f(x)极大值=b.
(2)由|f′(x)|≤a,得-a≤-x2+4ax-3a2≤a.①
∵0<a<1,∴a+1>2a.
∴f′(x)=-x2+4ax-3a2在[a+1,a+2]上是减函数.
∴f′(x)max=f′(a+1)=2a-1,f′(x)min=f(a+2)=4a-4.
于是,对任意x∈[a+1,a+2],不等式①恒成立等价于
解得
≤a≤1
又0<a<1,∴
≤a<1
令f′(x)<0,得f(x)的单调递减区间为(-∞,a)和 (3a,+∞);
∴当x=a时,f(x)极小值=−
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(2)由|f′(x)|≤a,得-a≤-x2+4ax-3a2≤a.①
∵0<a<1,∴a+1>2a.
∴f′(x)=-x2+4ax-3a2在[a+1,a+2]上是减函数.
∴f′(x)max=f′(a+1)=2a-1,f′(x)min=f(a+2)=4a-4.
于是,对任意x∈[a+1,a+2],不等式①恒成立等价于
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又0<a<1,∴
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