已知函数f(x)=x3+ax+b的图象关于坐标原点对称且与x轴相切.(1)求ab的值;(2)是否存在实数mn(mn>0)使函数g(x)=3-|f(x)|在区间[mn]上的值域仍为区间[mn]?请说明理由.

Question

已知函数f(x)=x3+ax+b的图象关于坐标原点对称 且与x轴相切.

(1) 求a b的值;

(2)是否存在实数m n(mn>0) 使函数g(x)=3-|f(x)|在区间[m n]上的值域仍为区间[m n]?请说明理由.

Answer 1

 (1) 因为曲线y=f(x)关于坐标原点对称 所以f(x)+f(-x)= 0恒成立 即x3+ax+b-x3-ax+b=0 于是b=0. 设函数y=f(x)的图象与x轴的切点坐标为(t 0) 则即解得t=0 a=0. 故a=b=0 f(x)=x3. (2) g(x)=3-|f(x)|=假设存在m n(mn>0)适合题意. ①当0<m<n时 因为g(x)=3-x3在区间[m n]上是单调减函数 所以即 两式相减 得m2+mn+n2=1. 因为0<m<n 所以n2<m2+mn+n2=1 于是0<m<n<1. 从而m3+n<13+1=2<3 与m3+n=3矛盾 故此时m n不存在. ②当m<n<0时 因为g(x)=3+x3在区间[m n]上是单调增函数 所以 于是m n是方程g(x)=x(即x3-x+3=0)的两个相异负根. 令h(x)=x3-x+3(x<0) 则由h'(x)=3x2-1=0得x=-. 因为当x≤-时 h'(x)≥0 所以函数h(x)在区间上是单调增函数 从而函数h(x)在区间上至多有一个零点. 又因为当-<x<0时 h'(x)<0 所以函数h(x)在区间上是单调减函数 于是h(x)>h(0)=3>0 所以函数h(x)在区间上没有零点. 故此时m n不存在. 综上所述 不存在实数m n(mn>0) 使函数g(x)=3-|f(x)|的定义域与值域均为区间[m n].