在△ABC中是否存在一点P，使得过P点的任意一直线都将该△ABC分成等面积的两部分？为什么？

Question

在△ABC中是否存在一点P，使得过P点的任意一直线都将该△ABC分成等面积的两部分？为什么？

Answer 1

假设存在点P满足条件，连BP并延长交AC于E，
则S_△ABD=S_△ACD，故BD=CD．
同理，AE=CE，则P为△ABC的重心，故(AP)/(AD)=(2)/(3)．

过P作BH∥BC，分别交AB、AC、于G、H，
由△AGH∽△ABC得，(S△AGN)/(S△ABC)=((AG)/(AB))2=((AP)/(AD))2=(4)/(9)，
则S_△AGN：S_{四边形BCGN}=4：5，
即S_△AGN≠S_{A四边形BCGN}，故点P不满足条件，
即不存在这样的点P．