在△ABC的内部是否存在一点,过这点的任意一条直线都可以把这个三角形的面积分为相等的两部分?需要证明过程

Question

在△ABC的内部是否存在一点,过这点的任意一条直线都可以把这个三角形的面积分为相等的两部分?
需要证明过程

Answer 1

不存在
用反证法
若存在这样一个点P
连接AP,则过AP的直线平分三角形的面积
所以AP肯定必须过BC边的中点
同理
BP连线会过AC边中点,CP连线会过AB边中点
所以P为三条中线的交点,即为重心
由于三角形的重心分三角形的中线为2：1的两部分 （1）
过中心P做EF‖BC,分别交AB、AC于E、F点
则三角形AEF∽三角形ABC
且相似比为中线的比例=2：3 根据（1）
由于面积比等于相似比的平方
所以S三角形AEF：S三角形ABC=4：9
所以由EF线分得的三角形两部分面积比为4：（9-4）=4：5
这就与假设的过P的所有直线都分三角形成相等的两部分矛盾.
所以P不存在