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Question

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Answer 1

1、奇函数、偶函数的定义： 奇函数：设函数y=f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有f(–x)=–f(x)， 则这个函数叫奇函数. 偶函数：设函数y=g(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有g(–x)=g(x)， 则这个函数叫做偶函数. 问题1：奇函数、偶函数的定义中有“任意”二字，说明函数的奇偶性是怎样的一个性质？与单调性有何区别？ 强调定义中“任意”二字，说明函数的奇偶性在定义域上的一个整体性质，它不同于函数的单调性. 问题2：–x与x在几何上有何关系？具有奇偶性的函数的定义域有何特征？ 奇函数与偶函数的定义域的特征是关于原点对称. 问题3：结合函数f(x)=x3的图象回答以下问题： （1）对于任意一个奇函数f(x)，图象上的点P(x，f(x))关于原点对称点P′的坐标是什么？ 点P′是否也在函数f(x)的图象上？由此可得到怎样的结论. （2）如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，能否判断它的奇偶性？ 2、奇函数与偶函数图象的对称性： 如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象以坐标原点为对称中心的中心对称图形.反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数. 如果一个函数是偶函数，则它的图形是以y轴为对称轴的轴对称图形；反之，如果一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数. 3、举例分析 例1判断下列函数的奇偶性； （1）f(x)=x+x3+x5；（奇）（2）f(x)=x2+1；（偶） （3）f(x)=x+1；（非奇非偶）（4）f(x)=x2，x∈[–1，3]；（非奇非偶） （5）f(x)=0.（既是奇函数又是偶函数的函数是函数值为0的常值函数.前提是定义域关于原点对称）. 归纳：（1）根据定义判断一个函数是奇函数还是偶函数的方法和步骤是： 第一步先判断函数的定义域是否关于原点对称；第二步判断f(–x)=f(x)还是判断f(–x)=–f(x). （2）对于一个函数来说，它的奇偶性有四种可能： 是奇函数但不是偶函数； 是偶函数但不是奇函数； 既是奇函数又是偶函数； 既不是奇函数也不是偶函数. 学生练习： 1、判断下列函数的是否具有奇偶性： (1)f(x)=x+x3；（奇）(2)f(x)=–x2；（偶）(3)h(x)=x3+1；（非奇非偶） (4)k(x)=，x[–1，2]；（非奇非偶）(5)f(x)=(x+1)(x–1)；（偶） (6)g(x)=x(x+1)；（非奇非偶）(7)h(x)=x+；（奇）(8)k(x)=.（偶） 2、判断下列论断是否正确： （1）如果一个函数的定义域关于坐标原点对称，则这个函数关于原点对称且这个函数为奇函数；（错） （2）如果一个函数为偶函数，则它的定义域关于坐标原点对称，（对） （3）如果一个函数定义域关于坐标原点对称，则这个函数为偶函数；（错） （4）如果一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数为偶函数.（对） 3、如果f(0)=a≠0，函数f(x)可以是奇函数吗？可以是偶函数吗？为什么？ （不能为奇函数但可以是偶函数） 4、如果函数f(x)、g(x)为定义域相同的偶函数，试问F(x)=f(x)+g(x)是不是偶函数？是不是奇函数？为什么？（偶函数） 5、如图，给出了奇函数y=f(x)的局部图象，求f(–4). 6、如图，给出了偶函数y=f(x)的局部图象，试比较f(1)与f(3)的大小. 例2（1）设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)+g(x)=，求函数f(x)，g(x)的解析式； （2）设函数f(x)是定义在(–∞，0)∪(0，+∞)上的奇函数，又f(x)在(0，+∞)上是减函数，且f(x)＜0，试判断函数F(x)=在(–∞，0)上的单调性，并给出证明. 解析：（1）∵f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，∴f(–x)=f(x)，g(–x)=–g(x)， 由f(x)+g(x)=① 用–x代换x得f(–x)+g(–x)=， ∴f(x)–g(x)=，② (①+②)÷2=得f(x)=；(①–②)÷2=得g(x)=. （2）F(x)在（–∞，0）是中增函数，以下进行证明： 设x1，x2?(–∞，0)，且x1＜x2. 则△x=x2–x1＞0且–x1，–x2?(0，+∞)，且–x1＞–x2， 则△(–x)=(–x2)–(–x1)=x1–x2=–△x＜0， ∵f(x)在（0，+∞）上是减函数，∴f(–x2)–f(–x1)＞0① 又∵f(x)在(–∞，0)∪(0，+∞)上是奇函数，∴f(–x1)=–f(x1)，f(–x2)=–f(x2)， 由①式得–f(x2)+f(x1)＞0，即f(x1)–f(x2)＞0. 当x1＜x2＜0时，F(x2)–F(x1)=， 又∵f(x)在(0，+∞)上总小于0， ∴f(x1)=–f(–x1)＞0，f(x2)=–f(–x2)＞0，f(x1)•f(x2)＞0， 又f(x1)–f(x2)＞0，∴F(x2)–F(x1)＞0且△x=x2–x1＞0， 故F(x)=在(–∞，0)上是增函数. 你要的太多了只一个奇函数和偶函数就这么多内容买本好的参考书吧