3可以有4种方式表达为1个或几个自然数（0除外）之和,即3；1+2；2+1；1+1+1.9有多少种这样的表示方法

Question

3可以有4种方式表达为1个或几个自然数（0除外）之和,即3；1+2；2+1；1+1+1.9有多少种这样的表示方法

Answer 1

记自然数n有an种表示方法
先看一下简单的1和2：
1只有1种,就是1；2有2种,1+1和2
所以a1=1,a2=2

再看一下3的4种表示方法,或者说a3=4是怎么来的：
可以把3看成1+2,保持+2不动,只能改变1的表示方法
根据定义,1的表示方法有a1种,由于+2不能动,所以1+2的表示方法也有a1种
（这a1种表示方法就是在每种1的表示方法后面加上一个“+2”
比如说1的表示方法是1,那么此时3的表示方法就是1+2）
也可以把3看成2+1,保持+1不动,只能改变2的表示方法
根据定义,2的表示方法有a2种,由于+1不能动,所以2+1的表示方法也有a2种
（这a2种表示方法就是在每种2的表示方法后面加上一个“+1”
比如说2的表示方法是1+1和2,那么此时3的表示方法就是1+1+1和2+1）
最后3还有一种表示方法,就是它自己,3
这样的话,3的表示方法就是a1+a2+1,也就是说a3=a1+a2+1=1+2+1=4

同样的道理,来看一下4：
可以拆成1+3,+3不动,只改变1,有a1种表示方法
也可以拆成2+2,+2不动,只改变2,有a2种表示方法
还可以拆成3+1,+1不动,只改变3,有a3种表示方法
或者就是一个4,这1种表示方法
所以a4=a1+a2+a3+1=1+2+4+1=8

照做下去,一直到求出a9
a5=a1+a2+a3+a4+1=1+2+4+8+1=16
a6=a1+a2+a3+a4+a5+1=1+2+4+8+16+1=32
a7=a1+a2+a3+a4+a5+a6+1=1+2+4+8+16+32+1=64
a8=a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+1=1+2+4+8+16+32+64+1=128
a9=a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8+1=1+2+4+8+16+32+64+128+1=256
也就是说9有256种表示方法