如图，某市郊外景区内一条笔直的公路a经过A、B两个景点，景区管委会又开发了风景优美的景点C，经测量，B位于A的北偏东75°方向，C位于B的正北方向，C位于A的北偏东30°方向，AB=8km．（1

Question

如图，某市郊外景区内一条笔直的公路a经过A、B两个景点，景区管委会又开发了风景优美的景点C，经测量，B位于A的北偏东75°方向，C位于B的正北方向，C位于A的北偏东30°方向，AB=8km．

（1）求景点B与C的距离；
（2）为方便游客到景点游玩，景区管委会准备由景点C向公路a修一条距离最短的公路，不考虑其它因素，求出这条公路的长．（本题结果保留根号）

Answer 1

（1）如图，过点B作BD⊥AC于点D．
在Rt△ADB中，∠ADB=90°，∠DAB=45°，
∴sin45°=(BD)/(8)=(√(2))/(2)．
∴BD=4√(2)，
在Rt△CDB中，∠CDB=90°，∠DCB=30°，
∴sin30°=(4√(2))/(BC)=(1)/(2)．
∴BC=8√(2)km；

（2）过点C作CE⊥AB于点E．
在（1）中可求出AD=4√(2)，CD=4√(6)，则AC=4√(2)+4√(6)，
在Rt△CAE中，sin∠CAE=(CE)/(AC)=(√(2))/(2)，
∴代入求出CE=（4+4√(3)）km．