一传送带装置示意图如图，其中传送带AB段是水平的，CD段是倾斜的，动摩擦因数均为μ，AB段和CD段通过极短的BC段平滑连接．现将大量的质量均为m的小货箱一个一个在A处放到传送带上，放

Question

一传送带装置示意图如图，其中传送带AB段是水平的，CD段是倾斜的，动摩擦因数均为μ，AB段和CD段通过极短的BC段平滑连接．现将大量的质量均为m的小货箱一个一个在A处放到传送带上，放置时初速为零，经传送带运送到D处，D和A的高度差为h．稳定工作时传送带速度保持不变，始终为v，CD段上各箱等距排列，相邻两箱的距离为L．每个箱子在A处投放后，在到达B之前已经相对于传送带静止，且以后也不再滑动（忽略经BC段时的微小滑动）．传送带由电动机带动，传送带与轮子间无相对滑动，不计轮轴处的摩擦．
（1）为了小货箱到达B点前相对于传动带静止，AB段至少多长？
（2）将每个小货箱从A点运送到D点，因摩擦产生了多少热量？
（3）求电动机的平均输出功率？

Answer 1

（1）小货箱相对于传送带相对静止前，由动能定理得：
  μmgs＝(1)/(2)mv2−0
解得：s＝(v2)/(2gμ)；
（2）设小货箱从释放到相对于传送带静止需要时间t，则：
  t＝(v)/(a)＝(v)/(gμ)
这段时间传送带向右运动s′，s′=vt
所以货箱与传送带的相对位移s_相对=s′-s
因摩擦产生的热量 Q=fs_相对=(1)/(2)mv2；
（3）设T时间内运送货箱N个，则 N＝(vT)/(L)
设每个货箱由A点运到D点需要能量E，E=Q+mgh
所以电动机的平均输出功率为 P=(NE)/(T)=(N((1)/(2)mv2+mgh))/(T)=(v)/(L)((1)/(2)mv2+mgh)．
答：
（1）为了小货箱到达B点前相对于传动带静止，AB段至少长为(v2)/(2gμ)．
（2）将每个小货箱从A点运送到D点，因摩擦产生的热量为(1)/(2)mv2．
（3）电动机的平均输出功率是(v)/(L)((1)/(2)mv2+mgh)．