图为仓库中常用的皮带传输装置示意图，它由两台皮带传送机组成，一台水平传送，A、B两端相距3m，另一台倾斜，传送带与地面的倾角θ=37°，C、D两端相距4.45m，B、C相距很近．水平部分AB以

Question

图为仓库中常用的皮带传输装置示意图，它由两台皮带传送机组成，一台水平传送，A、B两端相距3m，另一台倾斜，传送带与地面的倾角θ=37°，C、D两端相距4.45m，B、C相距很近．水平部分AB以5m/s的速率顺时针转动．将质量为10kg的一袋大米放在A端，到达B端后，速度大小不变地传到倾斜的CD部分，米袋与传送带间的动摩擦因数均为0.5．试求：

（1）若CD部分传送带不运转，求米袋沿传送带所能上升的最大距离；
（2）若要米袋能被送到D端，求CD部分顺时针运转的速度应满足的条件及米袋从C 端到D 端所用时间的取值范围．（(√(5))/(5)=0.447，结果保留两位小数）

Answer 1

（1）米袋在AB上加速时的加速度a0=(μmg)/(m)=μg=5m/s2，
米袋速度达到v₀=5m/s时，
滑行的距离s0=(v02)/(2a0)=(25)/(10)m=2.5m<3m，
因为米袋在到达B点之前就有了与传送带相同的速度．
设米袋在CD上运动的加速度大小为a，由牛顿第二定律得，mgsinθ+μmgcosθ=ma，
代入数据解得a=10m/s²．
所以能滑上的最大距离s=(v02)/(2a)=(25)/(20)m=1.25m．
（2）设CD部分运转速度为v₁时米袋恰能到达D点（即米袋到达D点时速度恰好为零），
则米袋速度减为v₁之前的加速度为a₁=-g（sinθ+μcosθ）=-10 m/s²
米袋速度小于v₁至减为零前的加速度为a₂=-g（sinθ-μcosθ）=-2 m/s²
由(v12-v02)/(2a1)+(0-v12)/(2a2)=4.45m，
代入数据，解得 v₁=4m/s，即要把米袋送到D点，CD部分的速度v_CD≥v₁=4m/s
米袋恰能运到D点所用时间最长为t_max=(v1-v0)/(a1)+(0-v1)/(a2)=2.1s．
若CD部分传送带的速度较大，使米袋沿CD上滑时所受摩擦力一直沿皮带向上，
则所用时间最短，此种情况米袋加速度一直为a₂．
由S_CD=v₀t_min+(1)/(2)a2tmin2，代入数据解得t_min=1.16s
所以，所求的时间t的范围为 1.16 s≤t≤2.1 s；
答：（1）若CD 部分传送带不运转，米袋沿传送带所能上升的最大距离为1.25m．
（3）若要米袋能被送到D 端，CD 部分顺时针运转的速度应满足大于等于4m/s，米袋从C 端到D 端所用时间的取值范围为1.16 s≤t≤2.1 s．