高数全微分问题(ydx-xdy)/(x^2+y^2)是哪个函数的全微分?

Question

高数全微分问题
(ydx-xdy)/(x^2+y^2)是哪个函数的全微分?

Answer 1

(ydx-xdy)/(x^2+y^2) = y/(x^2+y^2) dx - x/(x^2+y^2) dy
假设该函数存在,
令该函数 = f(x) = z , 则 dz/dx = y/(x^2+y^2)
1/y dz = 1/(x^2+y^2) dx
z/y = 1/y arctan (x/y) + C1(y)
z1 =arctan (x/y) + y* C1(y)
同理,dz/dy = -x /(x^2+y^2)
z2= arctan (x/y) - x*C2(x)
C1(y)为一个只含有y不含有x的多项式,C2(x)为一个只含有x不含有y的多项式
如果原式是某函数的全微分的,则z1=z2,所以C1(y)= C2(x) =0
所以原函数f(x)= arctan (x/y)
所以原式是函数 arctan (x/y) 的全微分.