（2012•盐城二模）因客流量临时增大，某鞋店拟用一个高为50cm（即EF=50cm）的平面镜自制一个竖直摆放的简易鞋镜．根据经验，一般顾客AB的眼睛B到地面的距离x（cm）在区间[140，180]内．设

Question

（2012•盐城二模）因客流量临时增大，某鞋店拟用一个高为50cm（即EF=50cm）的平面镜自制一个竖直摆放的简易鞋镜．根据经验，一般顾客AB的眼睛B到地面的距离x（cm）在区间[140，180]内．设支架FG高为h（0＜h＜90）cm，AG=100cm，顾客可视的镜像范围为CD（如图所示），记CD的长度为y（y=GD-GC）．
（1）当h=40cm时，试求y关于x的函数关系式和y的最大值；
（2）当顾客的鞋A在镜中的像A₁满足不等关系GC＜GA₁≤GD（不计鞋长）时，称顾客可在镜中看到自己的鞋，若一般顾客都能在镜中看到自己的鞋，试求h的取值范围．

Answer 1

（1）因为FG=40，AG=100，所以由(GC)/(FG)＝(GC+AG)/(AB)，即(GC)/(40)＝(GC+100)/(x)，解得GC＝(4000)/(x−40)，
同理，由(GD)/(EG)＝(GD+AG)/(AB)，即(GD)/(90)＝(GD+100)/(x)，解得GD＝(9000)/(x−90)
所以y＝GD−GC＝1000×((9)/(x−90)−(4)/(x−40))＝5000×(x)/(x2−130x+3600)，x∈[140，180]
因为y′＝5000×(3600−x2)/((x2−130x+3600)2)＜0，所以y在[140，180]上单调递减，
故当x=140cm时，y取得最大值为140cm
（2）由(GC)/(h)＝(GC+100)/(x)，得GC＝(100h)/(x−h)，
由(GD)/(h+50)＝(GD+100)/(x)，得GD＝(100(h+50))/(x−h−50)，
所以由题意知GC＜A₁G=AG≤GD，即(100h)/(x−h)＜100≤(100(h+50))/(x−h−50) 对x∈[140，180]恒成立
从而

h＜(x)/(2)

h≥(x)/(2)−50

对x∈[140，180]恒成立，∴40≤h＜70，
∴h的取值范围