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(2012•盐城二模)因客流量临时增大,某鞋店拟用一个高为50cm(即EF=50cm)的平面镜自制一个竖直摆放的简易鞋镜.根据经验,一般顾客AB的眼睛B到地面的距离x(cm)在区间[140,180]内.设
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![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/9213b07eca806538d18119a294dda144ad34821c.jpg)
(1)当h=40cm时,试求y关于x的函数关系式和y的最大值;
(2)当顾客的鞋A在镜中的像A1满足不等关系GC<GA1≤GD(不计鞋长)时,称顾客可在镜中看到自己的鞋,若一般顾客都能在镜中看到自己的鞋,试求h的取值范围.
▼优质解答
答案和解析
(1)因为FG=40,AG=100,所以由
=
,即
=
,解得GC=
,
同理,由
=
,即
=
,解得GD=
所以y=GD−GC=1000×(
−
)=5000×
,x∈[140,180]
因为y′=5000×
<0,所以y在[140,180]上单调递减,
故当x=140cm时,y取得最大值为140cm
(2)由
=
,得GC=
,
由
=
,得GD=
,
所以由题意知GC<A1G=AG≤GD,即
<100≤
对x∈[140,180]恒成立
从而
对x∈[140,180]恒成立,∴40≤h<70,
∴h的取值范围
GC |
FG |
GC+AG |
AB |
GC |
40 |
GC+100 |
x |
4000 |
x−40 |
同理,由
GD |
EG |
GD+AG |
AB |
GD |
90 |
GD+100 |
x |
9000 |
x−90 |
所以y=GD−GC=1000×(
9 |
x−90 |
4 |
x−40 |
x |
x2−130x+3600 |
因为y′=5000×
3600−x2 |
(x2−130x+3600)2 |
故当x=140cm时,y取得最大值为140cm
(2)由
GC |
h |
GC+100 |
x |
100h |
x−h |
由
GD |
h+50 |
GD+100 |
x |
100(h+50) |
x−h−50 |
所以由题意知GC<A1G=AG≤GD,即
100h |
x−h |
100(h+50) |
x−h−50 |
从而
|
∴h的取值范围
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