线代特征值疑惑?三阶矩阵A的特征值为1,2,3,则det(A逆-2A+3E)是多少?计算步骤我知道,我有点不理解从定义出发，他最后的结果是三个数相乘，这三个数应该是矩阵(A逆-2A+3E)的a11,a22,a33,那么那三

Question

线代 特征值 疑惑?
三阶矩阵A的特征值为1,2,3,则det(A逆-2A+3E)是多少?
计算步骤我知道,我有点不理解
从定义出发，他最后的结果是三个数相乘，这三个数应该是矩阵(A逆-2A+3E)的a11 ,a22,a33,那么那三个数为什么是a11 ,a22,a33呢？

Answer 1

A的特征值为1,2,3就是说一定可以找到矩阵P,使矩阵P逆AP=[1,2,3](1、2、3组成的对角矩阵)
那么P逆A逆P=[1,2,3]的逆=[1,1/2,1/3]
det(A逆-2A+3E)=det(P逆)*det(A逆-2A+3E)*det(P)
=det(P逆A逆P-2P逆AP+3E)
上式括号中就是对角矩阵的简单运算,再求行列式的值就是结果
关键就是理解前两行
怎么可能是矩阵(A逆-2A+3E)的a11 ,a22,a33相乘?
从定义出发,求一个矩阵(A逆-2A+3E)的行列式,也不止是对角线元素相乘,除非这个矩阵是对角阵,很显然A阵不一定是对角阵,那么（A逆-2A+3E）也不一定是对角阵,只是他的行列式等于变形之后也就是(P逆A逆P-2P逆AP+3E)的值,绝不一定是（A逆-2A+3E）阵的对角线元素相乘