利用弹簧弹射和皮带传动装置，可以将工件运送至高处，如图所示，已知传送轨道平面与水平方向成37°角，倾角也是37°的光滑斜面轨道固定于地面且与传送轨道良好对接，弹簧下端固定在

Question

利用弹簧弹射和皮带传动装置，可以将工件运送至高处，如图所示，已知传送轨道平面与水平方向成37°角，倾角也是37°的光滑斜面轨道固定于地面且与传送轨道良好对接，弹簧下端固定在斜面底端，工件与皮带间的动摩擦因数μ=0.2，皮带传动装置顺时针匀速转动的速度v=4m/s，两轮与轴心相距L=5m，B、C分别是传送带与两轮的切点，轮缘与传送带之间不打滑，现将质量m=1kg的工件放在弹簧上，用力将弹簧压缩至A点后由静止释放，工件离开斜面顶端滑到皮带上的B点时速度v₀=8m/s，AB间的距离x=1m，工件可视为质点，g取10m/s²（sin37°=0.6，cos37°=0.8）求：

（1）弹簧的最大弹性势能．
（2）工件沿传送带上滑的时间．
（3）若传送装置顺时针匀速转动的速度v可在8>v>4m/s 的范围内调节，是推导工件滑动到C点时的速度v_c随速度v变化的关系式．

Answer 1

（1）工件由A到B的过程中，弹力做正功，重力做负功，工件的动能增加，由能量守恒定律可得弹簧的最大弹性势能为：
E_P=mgxsin37°+(1)/(2)mv₀²  
代入数据解得：E_P=38J 
（2）工件沿传送轨道减速向上滑动的过程中，根据牛顿第二定律有：
mgsin37°+μmgcos37°=ma₁
解得工件的加速度大小为：a₁=8m/s²；
减速至与传送带共速需要的时间为：t₁═(v0-v)/(a1)=(8-4)/(8)s=0.5s
工件滑行的位移大小为：x₁═(v0+v)/(2)t1=(8+4)/(2)×0.5m=3m<L 
因为μ<tan37°，所以工件将沿传送带继续减速上滑．
由牛顿第二定律有：mgsin37°-μmgcos37°=ma₂ 
解得，工件的加速度大小为：a₂=4m/s²；
假设工件速度减为零时，工件未从传送带上滑落，则经历时间为：
t₂═(v)/(a2)=(4)/(4)s=1s．
工件滑行的位移大小为：
x₂═(v)/(2)t2=(4)/(2)×1m=2m=L-x₁ 
说明工件速度减为0时恰好到达传送带顶端，故假设成立，工件沿传送带上滑的时间 为：
t=t₁+t₂=1.5s
（3）当传送带速度在4m/s<v<8m/s的范围内调节时，工件先以加速度a₁减速向上滑行的距离为：
x₁′=(v20-v2)/(2a1)
当速度减到v后又以加速度a₂减速向上滑行的距离为：L-x₁′=(v2-v2C)/(2a2)
工件滑动C点的速度v_C随速度v的变化关系式为：v_c=√((v2)/(2)-8)
补充：若当传送带的速度v≥8m/s的范围内调节时，工件将沿传送带以加速度a₂减速滑行到C点，有：
v_c²-v²=2a₂L；
工件滑动到C点的速度v_c随速度v变化的关系式v_c=2m/s．所以当传送带速度在4m/s<v<8m/s时，工件滑动C点的速度v_C随速度v的变化关系式：
v_c=√((v2)/(2)-8)
当传送带的速度v≥8m/s时，工件滑动到C点的速度v_c随速度v变化的关系式为：v_c=2m/s．
答：（1）弹簧的最大弹性势能是38J．
 （2）工件沿传送带上滑的时间是1.5s．   
（3）速度v_c随速度v变化的关系式是v_c=