某人花费200万元购买了一辆大客车，用于长途客运，预计这辆车每年收入约100万元，车运营的花费P（万元）与运营年数x（x∈N*）的关系为p=8x（1+x）．（1）写出这辆车运营的总利润y（万元

Question

某人花费200万元购买了一辆大客车，用于长途客运，预计这辆车每年收入约100万元，车运营的花费P（万元）与运营年数x（x∈N^*）的关系为p=8x（1+x）．
（1）写出这辆车运营的总利润y（万元）与运营年数x（x∈N^*）的函数关系式；
（2）这辆车运营多少年，可使年平均运营利润w最大？最大为多少？

Answer 1

（1）依题意，这辆车x年总收入为100x万元，
总支出为200+8x（1+x）（万元）．
∴y=100x-[200+8x（1+x）]=-8x²+92x-200=4（-2x²+23x-50）．
（2）年平均利润为w＝(y)/(x)=(4(−2x2+23x−50))/(x)=4[23−2(x+(25)/(x))]．
又x∈N^*，∴x+(25)/(x)≥2 √(x•(25)/(x))=10，
当且仅当x=5时，等号成立，此时w≤4×（23-20）=12．
∴这辆车运营5年，可使年平均运营利润w最大为12万元．
答：（1）这辆车运营的总利润y（万元）与运营年数x（x∈N^*）的函数关系式是y=-8x²+92x-200．；
（2）这辆车运营5年，可使年平均运营利润w最大，最大为12万元．