如图所示，地球和某行星在同一轨道平面内同向绕太阳做匀速圆周运动．地球的轨道半径为R，运转周期为T，地球和太阳中心的连线与地球和行星中心的连线所夹的角叫地球对该行星的观察

Question

如图所示，地球和某行星在同一轨道平面内同向绕太阳做匀速圆周运动．地球的轨道半径为R，运转周期为T，地球和太阳中心的连线与地球和行星中心的连线所夹的角叫地球对该行星的观察视角（简称视角）．已知该行星的最大视角为θ，当行星处于最大视角时是地球上的天文爱好者观察该行星的最佳时期．某时刻该行星恰好处于最佳观察期，且行星的位置超前于地球．求：

（1）行星绕太阳运转的周期T′
（2）该行星下一次处于最佳观察期至少经历的时间．

Answer 1

（1）由题意可知行星的轨道半径r为：r=Rsinθ…①
设行星绕太阳的运转周期为T′，由开普勒第三定律有：(R3)/(T2)=(r3)/(T/2)…②
由①②解得：T′=T√(sin3θ)
（2）设经时间t地球转过α角，行星再次处于最佳观察期
则行星转过的角度β为：β=π+α+2θ…③
那么：α=(2π)/(T)t…④
β=(2π)/(T′)t…⑤
由①②③④⑤可得：t=((π+2θ)√(sin3θ))/(2π(1-√(sin3θ)))T
答：（1）行星绕太阳运转的周期T′为T√(sin3θ)．
（2）该行星下一次处于最佳观察期至少经历的时间为((π+2θ)√(sin3θ))/(2π(1-√(sin3θ)))T．