证明（1+x)^1/n-1与nx为同阶无穷小,x趋向无穷小是1／nx

Question

证明（1+x)^1/n-1与nx为同阶无穷小,x趋向无穷小
是1／n x

Answer 1

lim(x->0) [（1+x)^(1/n)-1]/(x/n)
=lim(x->0) [1/n*（1+x)^(1/n -1)]/(1/n)
=lim(x->0) （1+x)^(1/n -1)
=1
∴ （1+x)^(1/n)-1 ~ x/n
即： （1+x）^a -1 ~ ax (a=1/n , x->0)