某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得10万元～1000万元的投资收益．现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金y（单位：万元）随投资收益x（单位：万元）的增加而

Question

某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得10万元～1000万元的投资收益．现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金y（单位：万元）随投资收益x（单位：万元）的增加而增加，且奖金不超过9万元，同时奖金不超过投资收益的20%．
（Ⅰ）若建立函数模型制定奖励方案，试用数学语言表述公司对奖励函数模型的基本要求；
（Ⅱ）现有两个奖励函数模型：（1）y=(x)/(150)+2；（2）y=4lgx-3．试分析这两个函数模型是否符合公司要求？

Answer 1

（Ⅰ）设奖励函数模型为y=f（x），则公司对函数模型的基本要求是：
当x∈[10，1000]时，①f（x）是增函数；②f（x）≤9恒成立；③f(x)≤(x)/(5)恒成立．（3分）
（Ⅱ）（1）对于函数模型f(x)＝(x)/(150)+2：
当x∈[10，1000]时，f（x）是增函数，则f(x)max＝f(1000)＝(1000)/(150)+2＝(20)/(3)+2＜9．
所以f（x）≤9恒成立．（5分）
因为函数(f(x))/(x)＝(1)/(150)+(2)/(x)在[10，1000]上是减函数，所以[(f(x))/(x)]max＝(1)/(150)+(1)/(5)＞(1)/(5)．
从而(f(x))/(x)＝(1)/(150)+(2)/(x)≤(1)/(5)，即f(x)≤(x)/(5)不恒成立．
故该函数模型不符合公司要求．（8分）

（2）对于函数模型f（x）=4lgx-3：
当x∈[10，1000]时，f（x）是增函数，则f（x）_max=f（1000）=4lg1000-3=9．
所以f（x）≤9恒成立．（10分）
设g（x）=4lgx-3-(x)/(5)，则g′(x)＝(4lge)/(x)−(1)/(5)．
当x≥10时，g′(x)＝(4lge)/(x)−(1)/(5)≤(2lge−1)/(5)＝(lge2−1)/(5)＜0，
所以g（x）在[10，1000]上是减函数，从而g（x）≤g（10）=-1＜0．
所以4lgx-3-(x)/(5)＜0，即4lgx-3＜(x)/(5)，所以f(x)＜(x)/(5)恒成立．
故该函数模型符合公司要求．（13分）