若a,b为正实数,且a,b=1,则S=根号2ab-a平方-b平方的最大值是a+b=1不是a，b=1写错了不好意思

Question

若a,b为正实数,且a,b=1,则S=根号2ab-a平方-b平方的最大值
是a+b=1 不是a，b=1 写错了 不好意思

Answer 1

S=√2ab- a^2- b^2
移向得：S+ a^2+ b^2=√2ab
S+(a+b) ^2-2ab=√2ab
又因为a+b=1,得
S+1-2ab=√2ab
S=2ab+√2ab-1
令√2ab=t 则 S=t^2+t-1=（t+1/2）^2-5/4
因为a、b为正实数,则 a^2+b^2≥2ab
（a+b）^2-2ab≥2ab
则 4ab≤（a+b）^2=1
√ab≤1/2
t≤√2/2
S=（t+1/2）^2-5/4≤（√2/2+1/2）^2-5/4=（√2-1）/2
所以 S 的最大值为（√2-1）/2