求证：若d,n是正整数,d整除n是(x的d次方-1)整除(x的n次方-1)的充要条件

Question

求证：若d,n是正整数,d整除n是(x的d次方-1)整除(x的n次方-1)的充要条件

Answer 1

记f(x)=x^d-1;g(x)=x^n-1;则f(x)|g(x)<=>f(x)的根都为g(x)的根.
记ξ为f(x)的本原根,则f(x)的全部根为ξ,ξ^2,……ξ^d=1;
记η为g(x)的本原根,则g(x)的全部根为η,η^2,……η^n=1;
若f(x)|g(x),记i为最小的指数使得ξ=η^i,则1=ξ^d=η^id=η^n.
所以由i的选取和ξ为本原根可知id为使得η的幂方为1的最小指数；另一方面又η为本原根所以n为最小的指数,从而n=id所以d|n;
反过来那就更简单了,假设n=id从而ξ=η^i,从而ξ,ξ^2,……ξ^d=1都可表示为η的幂方,所以ξ,ξ^2,……ξ^d=1都为g(x)=0的根,所以f(x)|g(x).