设A是n阶矩阵，证明：A2=2I-A⇔r（A+2I）+r（A-I）=n．

Question

设A是n阶矩阵，证明：A²=2I-A⇔r（A+2I）+r（A-I）=n．

Answer 1

因为

A+2I	0
0	A−I

→

A+2I	A+2I
0	A−I

→

A+2I	3I
0	A−I

→

0	3I
−(1)/(3)(A+2I)(A−I)	A−I

作业帮用户 2017-10-31 举报

问题解析

利用分块矩阵的初等行变换可得，

A+2I	0
0	A−I

→

0	3I
−(1)/(3)(A+2I)(A−I)	0

；从而利用矩阵的秩的性质可得，R（A+2I）+R（A-I）═n+R（（A+2I）（A-I）），进而可以证明结论．

名师点评

本题考点：

矩阵的秩的性质．

考点点评：

本题考查了矩阵的秩的性质以及分块矩阵的初等变换，具有一定的综合性，难度系数适中．矩阵的秩的性质是常考知识点，需要熟练掌握并灵活运用于关于矩阵秩的证明与求解．

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