天文学家经过用天文望远镜的长期观测，在宇宙中发现了许多“双星”系统，所谓“双星”系统是指由两个星体组成的天体系统．其中每个星体的线度均远小于两个星体之间的距离．根据对

Question

天文学家经过用天文望远镜的长期观测，在宇宙中发现了许多“双星”系统，所谓“双星”系统是指由两个星体组成的天体系统．其中每个星体的线度均远小于两个星体之间的距离．根据对“双星”系统的光学测量确定，这两个星体中的每一星体均在绕二者连线上的某一点做匀速圆周运动，星体到该点的距离与星体的质量成反比，一般双星系统与其他星体距离很远，除去双星系统中两个星体之间的相互作用的万有引力外，双星系统所受其他天体的引力均可忽略不计．根据对一“双星”系统的光学测量确定，此双星系统中每个星体的质量均为m，两者之间的距离为L．
（1）根据天体力学理论计算该双星系统的运动周期T₀；
（2）若观测到的该双星系统的实际运动周期为T，且有T₀：T=√(N)：1（N＞1），为了解释T与T₀之间的差异，目前有一种流行的理论认为，在宇宙中可能存在着一种用望远镜观测不到的“暗物质”．作为一种简化的模型，我们假定认为在以这两个星体的连线为直径的球体内部均匀分布着这种暗物质，若不再考虑其他暗物质的影响，试根据这一模型理论和上述的观测结果，确定该双星系统中的这种暗物的密度．

Answer 1

（1）双星均绕它们的连线的中点做圆周运动，万有引力提供向心力得：G(m2)/(L2)＝m(4π2)/(T20)•(L)/(2)
解得：T0＝πL√((2L)/(Gm))．
（2）根据观测结果，星体的运动周期T＝(1)/(√(N))T0＜T0这种差异是由双星内均匀分布的暗物质引起的，均匀分布在球体内的暗物质对双星系统的作用与一质量等于球内暗物质的总质量m'，位于中点O处的质点的作用相同．
则有：G(m2)/(L2)+G(mm′)/(((L)/(2))2)＝m(4π2)/(T2)•(L)/(2)
解得：T＝πL√((2L)/(G(m+4m′)))
所以：m′＝(N−1)/(4)m
设所求暗物质的密度为ρ，则有：(4)/(3)π((L)/(2))3ρ＝(N−1)/(4)m
解得：ρ＝(3(N−1)m)/(2πL3)
答：（1）该双星系统的运动周期T₀为πL√((2L)/(Gm))；
（2）该双星系统中的这种暗物的密度为(3(N−1)m)/(2πL3)．