宇宙中有一种双星,质量分别为m1、m2的两个星球,绕同一圆心做匀速圆周运动,它们之间的距离为L,不考虑其他星球的影响两颗星的轨道半径和周期各是多少?(写出具体的计算过程)

Question

宇宙中有一种双星,质量分别为m1、m2的两个星球,绕同一圆心做匀速圆周运动,它们之间的距离为L,不考虑其他星球的影响两颗星的轨道半径和周期各是多少?(写出具体的计算过程)

Answer 1

设圆心距离 m1 、m2 分别 x1 和 x2
x1 + x2 = L .(1)式
两者间的万有引力
F = G* m1 * m2 * /L^2 .（2）式
F同时是两个星体圆周运动的向心力
设它们的速度分别为 v1 和 v2
m1 * v1^2 /x1 = m2 * v2^2 /x2 .（3） 式
设它们的角速度为 w.
这里需要明确,它们的角速度是相同的.因为它们是在相同来源的万有引力下绕共同的圆心做圆周运动.
v1 = x1 * w
v2 = x2 * w
这两个关系代入到 （3） 式中,消去 w ,得到：
m1 * x1 = m2 * x2 .(4)
（题外话：可以看到,这个式子与杠杆平衡方程一模一样.圆心所在位置其实就是 m1 和 m2 的质量中心.）
（4） 与 （1） 联立,容易算出
x1 = [m2/(m1+m2)] * L
x2 = [m1/(m1+m2)] * L
x1 和 x2 即为两颗星的轨道半径.
下面求周期.
F = G* m1 * m2 * /L^2 = m1 * v1^2 /x1 = m1 * (v1/x1)^2 * x1
周期 T = 2 * Pi * x1 /v1
= 2 * Pi * SQRT [ m1 * x1 * L^2 / (G * m1 * m2)]
= 2 * Pi * SQRT { L^3 /[G(m1+m2)}
这里 Pi 为圆周率,SQRT = Squre Root 表示开平方运算.
两颗星星的周期和角速度均相同.