月球与地球质量之比约为1:80,一般情况下,我们认为月球绕地球转动,其轨道可近似看成圆周轨道,但研究者提出,地球的质量并非远远大于月球质量,故月球和地球可视为一个由两质点构成的双星

Question

月球与地球质量之比约为1:80,一般情况下,我们认为月球绕地球转动,其轨道可近似看成圆周轨道,但
研究者提出,地球的质量并非远远大于月球质量,故月球和地球可视为一个由两质点构成的双星系统,它们都围绕地球与月球连线上某点0做运速圆周运动.在月地距离一定的情况下,试求这种双星系统所计算出的周期T1与一般情况下所计算出的周期T2之比.

Answer 1

是这样的：
按照万有引力的公式,有：
(GMm₁)/r₁²=(m₁v₁²)/r₁,
(GMm₂)/r₂²=(m₂v₂²)/r₂,
于是有：
v₁/v₂=√(r₂/r₁)-------------------①；
而按照双星运行来计算,有：
mr₁ω²=Mr₂ω²,
于是有：
r₂/r₁=m/M---------------------②.
在这里,①式与②式是不可以转化成一个等式的,因为①式是按照单星运行来算的,其中的r₁、r₂分别是两颗不同卫星的环绕半径；而②式中,r₁、r₂分别指的是卫星和地球的转动半径.两个式子中的r₁、r₂意义不同,故不能混为一谈而把二者化成一个式子,也就是说,不能用v₁/v₂=√(r₂/r₁)=√(m/M).